举例1
问题背景
假设一个小型制造企业生产两种产品：A和B。这两种产品都需要同一种原材料，而且市场对这两种产品都有需求。企业需要决定是否采购这种原材料，以及采购多少，以满足产品A和B的生产需求，同时尽量减少总成本。
参数和变量
- 原材料的固定采购成本：K（如果决定采购，则需支付此固定成本）
- 原材料的单位成本：c（每单位原材料的采购成本）
- 产品A和B的生产需求：分别为和（单位）
- 产品A和B对原材料的单位消耗：分别为和（即生产一个单位的产品A需要单位原材料，产品B同理）
- 产品A和B的销售价格：分别为和
决策变量
- 原材料采购量：x（单位）
- 是否采购原材料的二元变量：（y=1表示决定采购，y=0表示不采购）
目标
最大化利润，即收入减去成本。
模型
目标函数（最大化利润）：
约束条件：
- 原材料消耗约束（确保有足够的原材料来满足两种产品的生产需求）：
- 采购决策约束（如果决定采购，x可以是正值；如果不采购，x必须为0）：
其中M是一个足够大的数，以确保当y=1时，x的上限不会影响决策。
解释
在这个例子中，企业的目标是最大化其利润，这取决于两种产品的生产和销售以及原材料的采购成本。决定是否采购原材料（并且决定采购多少）是一个关键的决策点，因为这将直接影响生产成本和最终利润。通过引入二元变量y，模型能够在是否支付固定采购成本K之间做出选择，这是通过原材料采购决策直接影响的。此外，原材料的总采购量x需要足以满足两种产品的生产需求，这由原材料消耗约束保证。
这个例子体现了线性化方法的实际应用，通过将非线性决策（即采购或不采购）转化为线性模型中的二元变量和相关约束，可以利用现有的线性规划软件来找到最优解。这种方法使得模型既能够处理复杂的决策问题，又能够保持计算的高效性和可解释性。
在实际操作中，企业可能还需要考虑其他因素，如库存持有成本、原材料供应的可靠性、市场需求的不确定性、产品定价策略等。这些因素可以通过添加更多的变量和约束条件到模型中来考虑，展示了线性化在处理现实世界复杂问题中的强大能力和灵活性。
举例2
让我们考虑一个更复杂的例子，这次我们将涉及一个制造企业，它需要管理多个产品的生产、原材料的采购，同时考虑到库存管理、供应商选择和运输成本。
问题背景
假设一个企业生产三种产品：A、B和C。这些产品都需要不同类型的原材料（分别为材料1、材料2和材料3）。企业需要从两个不同的供应商那里采购这些原材料，每个供应商对每种材料都有不同的价格和运输成本。此外，企业还需要考虑库存成本，因为持有过多库存会导致额外费用。
参数和变量
- 原材料的固定采购成本：（每种材料的固定成本）
- 原材料的单位成本：（每种材料从每个供应商处的单位采购成本）
- 运输成本：（从每个供应商运输每种材料的成本）
- 产品A、B、C的生产需求：
- 产品对原材料的单位消耗：
- 产品的销售价格：
- 库存成本：（每种材料的单位库存成本）
决策变量
- 从供应商j采购原材料i的数量：
- 是否从供应商j采购原材料i的二元变量：
目标
最大化利润，即收入减去所有成本（采购成本、运输成本和库存成本）。
模型
目标函数：
约束条件：
其中M是一个足够大的数。
解释
在这个更复杂的例子中，企业面临的决策更加多样化，包括选择供应商、决定从每个供应商处采购多少原材料、以及如何平衡库存成本。通过引入二元变量，模型能够在是否向特定供应商采购特定原材料之间做出选择，并且通过约束条件确保生产需求得到满足，同时最小化总成本。
这个例子展示了线性化方法如何能够处理涉及多个决策变量和约束条件的复杂问题，使得通过现有的线性规划软件找到最优解成为可能。这种方法的应用不仅限于制造业，还可以广泛应用于供应链管理、财务规划、项目管理等多个领域。